ベイズ最適化の主要概念：ガウス過程

ガウス過程（GP）による代理モデル

ガウス過程（Gaussian Processes、GPs）は、データに基づいた予測と不確実性の分析を行うための機械学習における統計モデルの一種です。従来のモデルが特定の関数形式を仮定するのに対し、GPは関数上の連続的な分布としてデータをモデル化し、データから直接多様なパターンを捉えることが可能です。

GPは、データの平均的な傾向を示す平均関数と、データ間の関係性を捉えるカーネル関数（または共分散関数）という2つの要素によって定義されます。カーネルは、スムーズさや周期性といった関数の振る舞いに関する仮定をエンコードし、GPが様々なパターンに適応するのを可能にします。

GPの特徴の一つは、単に予測するだけでなく、その予測に対する不確実性も提供できる点です。この機能は特に、ベイズ最適化における代理モデルとして利用される際に有用です。

ガウス過程回帰

ガウス過程におけるカーネルの役割

GPの柔軟性はカーネル関数の使用に基づいており、これは異なるデータポイント同士がどれだけ関連しているかを定義します。カーネルの選択は、モデル化する関数のスムーズさや周期性、その他の特性に関する仮定をエンコードするために非常に重要です。カーネルを調整することで、GPは単純な線形の傾向から複雑な非線形のパターンまで様々なデータの振る舞いに対応できます。

代表的なカーネルには、スムーズな関数をモデル化するのに適した放射基底関数（Radial Basis Function、RBF）や、より粗い関数をモデル化できるMatérnカーネルがあります。周期性があると考えられる関数には、周期カーネルが適用されることもあります。

適切なカーネルの選択はGPモデルの設計において重要なステップです。この選択プロセスは複雑であり、モデル化対象の関数が異なるスムーズさ、周期性、またはノイズの度合いを持つ場合、異なるカーネルの組み合わせが必要になることもあります。

ガウス過程のトレーニングと更新

GPのトレーニングでは、目的関数の観測値からなる訓練データにフィットさせることを行います。これらの観測値は、目的関数の真の値が評価された入力空間内の点の集合であり、これをもとに他の全ての点における関数の値を推測することが目的です。GPは関数の事前分布を観測データに基づき事後分布に更新することで、これを実現します。

この事後分布は、観測データと一致する可能性のある関数の分布を提供し、事後分布の平均が予測値、不確実性は分散として表されます。

ガウス過程の利点

GPは、非常に非線形であったり、ノイズが多かったり、非凸であったりするようなさまざまな目的関数をモデル化することができます。この柔軟性は、複雑なシミュレーションや実験、あるいは現実世界の現象に由来する目的関数を対象とする多くの実際の最適化問題において重要です。例えば、材料科学では、各評価が高価な物理的テストを伴うような場合、材料の特性を最適化するための代理モデルとしてGPが用いられることがあります。同様に、機械学習では、時間がかかるトレーニングプロセスが必要となるディープラーニングモデルのハイパーパラメータ調整にGPが活用されます。

また、GPがノイズの多いデータを扱える点も大きな利点です。多くの現実世界のアプリケーションでは、目的関数は決定論的でなく、データ収集時のノイズやプロセスの内在的な変動により測定値が異なることがあります。GPは共分散構造を調整することでノイズを自然に組み込むことができるため、ランダムな変動がある場合でも頑健な予測が可能です。

制約と考慮事項

GPは強力なモデルですが、データサイズ、次元数、ハイパーパラメータのチューニングに関する制約もあります。

• 大規模データセットに対するスケーラビリティ：GPには行列演算が必要で、データセットが増えると非常に遅くなります。大規模な行列の逆行列計算が必要であり、これが計算量を大きくし、メモリも大量に消費します。そのため、数千以上のデータポイントではGPが扱いにくくなります。大規模データセットに対しては、近似GP法が使用されることがあり、材料開発のようにデータサイズがあまり大きくない場合には、完全なGPを使用することが可能です。
• 高次元データ：GPは低次元空間で最も効果的に機能し、データポイント間の関係性が捉えやすくなります。高次元では、データポイントが広がり、GPがパターンを効果的にモデル化するのが難しくなるため、これは「次元の呪い」として知られます。高次元空間でのGPモデリングを効果的に行うには、事前分布の最適化が必要です。また、データをモデル化する上で最も重要な次元のみを特定する手法も存在します。
• ハイパーパラメータへの感度：GPは、平滑性や予測の変動性などを制御するカーネルやそのハイパーパラメータの慎重な選択を必要とします。このチューニングプロセスは時間がかかり、ローカル最適解に陥りやすいため、モデルの性能が低下することもあります。カーネルの選択やフィッティング条件が適切であることが、信頼性の高いGPモデルの構築において重要です。

まとめ

ガウス過程は、高精度な予測と不確実性の推定が求められるアプリケーションに適したモデルです。柔軟にカスタマイズ可能なカーネルを通じて複雑なデータパターンに適応する能力があり、従来のモデルでは対応が難しいタスクに最適です。GPは複雑な関係を効果的に捉え、内在する不確実性も備えた信頼性の高い予測を提供します。この特性は、ベイズ最適化における代理モデルとして特に有用です。